des équations différentielles aux systèmes dynamiques pdf
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| des équations différentielles aux systèmes dynamiques pdf |
Les équations différentielles sont un sujet fondamental en mathématiques et en sciences. Elles décrivent comment les quantités changent en fonction du temps ou d'autres variables. Les systèmes dynamiques sont une application importante des équations différentielles. Voici quelques informations clés :
1. Équation différentielle ordinaire (EDO) : Une équation qui relie une fonction inconnue à ses dérivées par rapport à une seule variable indépendante, généralement le temps. Par exemple, l'équation du mouvement d'une masse attachée à un ressort.
2. Système dynamique : Un système dont l'évolution dépend du temps. Cela peut être décrit par un ensemble d'équations différentielles, appelées équations différentielles ordinaires (EDO) ou équations aux dérivées partielles (EDP), en fonction du contexte.
3. Équations aux dérivées partielles (EDP) : Ces équations incluent plusieurs variables indépendantes et leurs dérivées partielles. Elles sont couramment utilisées pour modéliser des phénomènes physiques continus tels que la diffusion de la chaleur ou la propagation des ondes.
4. Théorie des systèmes dynamiques : Un domaine des mathématiques qui étudie les comportements à long terme des systèmes dynamiques. Il se concentre sur des concepts tels que les attracteurs, les trajectoires, la stabilité et le chaos.
5. Exemples d'applications : Les équations différentielles et les systèmes dynamiques sont utilisés dans de nombreuses disciplines, notamment en physique, en biologie, en économie et en ingénierie pour modéliser et comprendre les phénomènes complexes et les systèmes dynamiques.
En résumé, les équations différentielles sont la base mathématique pour comprendre et modéliser les systèmes dynamiques, qu'ils soient simples ou complexes. Elles sont largement utilisées pour résoudre des problèmes dans de nombreux domaines scientifiques et technologiques.
Cet ouvrage s'adresse aux étudiants d'un master de mathématiques ou de physique théorique, mais il peut aussi être employé avec profit par toute personne cherchant des informations sur les aspects topologiques de la théorie des systèmes dynamiques. Il est une introduction à certains aspects de la théorie des systèmes dynamiques s'appuyant sur la théorie développée dans le tome I, publié dans la même collection (Théorie élémentaire des équations différentielles avec éléments de topologie différentielle).
1. Équation différentielle ordinaire (EDO) : Une équation qui relie une fonction inconnue à ses dérivées par rapport à une seule variable indépendante, généralement le temps. Par exemple, l'équation du mouvement d'une masse attachée à un ressort.
2. Système dynamique : Un système dont l'évolution dépend du temps. Cela peut être décrit par un ensemble d'équations différentielles, appelées équations différentielles ordinaires (EDO) ou équations aux dérivées partielles (EDP), en fonction du contexte.
3. Équations aux dérivées partielles (EDP) : Ces équations incluent plusieurs variables indépendantes et leurs dérivées partielles. Elles sont couramment utilisées pour modéliser des phénomènes physiques continus tels que la diffusion de la chaleur ou la propagation des ondes.
4. Théorie des systèmes dynamiques : Un domaine des mathématiques qui étudie les comportements à long terme des systèmes dynamiques. Il se concentre sur des concepts tels que les attracteurs, les trajectoires, la stabilité et le chaos.
5. Exemples d'applications : Les équations différentielles et les systèmes dynamiques sont utilisés dans de nombreuses disciplines, notamment en physique, en biologie, en économie et en ingénierie pour modéliser et comprendre les phénomènes complexes et les systèmes dynamiques.
En résumé, les équations différentielles sont la base mathématique pour comprendre et modéliser les systèmes dynamiques, qu'ils soient simples ou complexes. Elles sont largement utilisées pour résoudre des problèmes dans de nombreux domaines scientifiques et technologiques.
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On ne propose pas un exposé systématique du sujet. Les auteurs ont voulu, au contraire, se concentrer sur quelques thèmes de nature assez topologique et les développer avec détails, comme par exemple les idées de René Thom sur généricité et transversalité, l'étude locale au voisinage des singularités hyperboliques, la stabilité structurelle... La théorie des bifurcations est largement présentée, ainsi que les résultats et méthodes de cette théorie pour les champs de vecteurs de dimension 2. Chaque chapitre est illustré par de nombreux exemples.
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